无敌洪荒 补充基数…(3/3)

，给出AC，CH与ZF的一个模型;1963年柯亨创造力迫法证明了AC与CH关于ZF独立性。其后的发展是扩充ZFC(主要是引入大基数公理)来讨论GCH及其他问题。集论发展的另一侧面是强调它与分析、一般拓扑与测度论等分支的联系，这是描叙性集论的主题。其中苏斯林假设(S.H.)的独立性及有关问题的研究，是公理集论的第2个中心问题。

ZF系的形式语言是只有一个二元关系符号∈的带号的一阶语言。ZF由下面8个公理组成。(1)外延公理。若X与Y有相同的元素，则X=Y。(2)无穷公理。存在无限集。下面5个公理是合法的基本造集规则。(3)配对公理。对集a与b，有一个集合恰好只含有a、b二个元素，记为{a，b}。(4)并集公理。对任集X，其并∪X也是集合。(5)幂集公理。对任集X，其所有子集全体P(X)仍是集合。(6)分离公理。对任集X及性质P，Y={x∈X：x具有性质P}是集合。(7)替换公理。F是一函数(在ZF系中是一导出概念)，对任集X，F[X]={F(x)：x∈X}是集合。在上述公理基础上，朴素集论中的一系列基本运算与性质均可导出。(8)正规公理。每个非空集含有一个∈-极小元(非空集关于∈是一偏序集)。应用正规公理，我们可排除罗素悖论且建立起全体集合的累积分层体系。利用分离公理取代概括原理(指每一性质确定一个集合)，便可避免关于最大序数与基数的悖论。选择公理AC：对任非空集S，存在函数f满足，对任X∈S，若X≠?则f(x)∈X。称f为S的选择函数。ZF添上AC简记为ZFC。AC有许多不同形式的等价变形。例如，代数与分析中常用的曹恩引理，良序原理，拓扑中关于紧空间直积的吉洪诺夫(Tychonoff)定理等等。另外，无穷数学中的许多重要定理的证明都岭不开AC(如戴德金无限与常规无限概念的等价性，线性空间基的存遮性，泛函中的哈恩-巴拿赫定理，L-不可测集的存在性等)。但由AC(及ZF)也可推出一些怪异的结论，如分球怪论。现已知道，AC与?AC都分别与ZF相容，这情形类似于平面几何中的平行公设。CH与SH是另2个著名的独立性命题。实数序有一个特征：稠密完备的线性序，无界且有可数稠密子集。苏斯林问：能否把最后一条件即可分性，换成较弱的“每一非交的开区间族可数”?他猜想这不成立，此即SH。

大基数公理(largecardinalaxioms)是关于大基数存在的一类新加公理。设有关于基数α的一条性质P(α)，它是可以用ZFC系统的语言形式描述的，尽管人们根据直觉相信，有很大的α使P(α)为真，但却不能在ZFC系统内证明“?αP(α)”这一命题。人们若将?αP(α)作为公理加入到ZFC系统之中，就称之为一条大基数公理，满足P(α)的α称为大基数。大基数的种类很多。一般地，P(α)都是ω(其基数为0)的某个性质向不可数基数的推广，因而，可以说大基数公理是无穷公理的自然延伸，是人类对无穷世界的认识进一步深化的产物。例如，不可达基数是将ω的“集论运算的不可到达性”推广到不可数基数而得到的大基数。弱紧基数则是将ω所满足的分划关系ω→(ω)22推广至不可数基数而得到的。从这个角度看，大基数公理为人们所乐于接受。增加了大基数公理之后，人们可以对集合论中某些悬而未决的问题做出一定程度的回答。例如，若存在强不可达基数κ，则ZFC相容；若存在拉姆齐基数，则V≠L，即可构造公理不真；若存在强紧基数κ，则V≠L[X]对任何集合X成立，又对于任何大于κ的奇异强极限基数λ，2λ=λ+，这对广义连续统假设做出了部分回答。

大基数是集合论用语。满足某些特殊性质的不可数基数。如“不可达基数”、“可测基数”、“超紧基数”等都是大基数。其中，不可达基数是最小的大基数。在公理集合论ZFC系统中，既不能证明大基数存在，也不能否认大基数存在

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