无敌洪荒 补充基数…(2/3)

的。这就清楚地看出，不可达基数确实是无穷基数0的一种自然推广。“存在不可达基数”已不是ZFC系统的定理。若想肯定这一事实，只有引入大基数公理。事实上，若κ是强不可达基数，则直到κ层的集Vκ就是ZFC系统的模型

弱不可达基数是一种正则基数。既是极限基数又是正则基数的不可数基数。若Nα为弱不可达基数，则cf(α)=α，且α是极限序数。因为cf(Nα)≤Nα，Nα≥α，所以Nα=α。可见Nα是非常大的。由定义还可看出，不可达基数κ不可能由比它小的基数通过基数的加法、乘法、乘幂和取极限等运算得到。

强不可达基数

强不可达基数是一种正则基数。简称不可达基数。既是正则的又是强极限的无穷基数。即如果正则基数κ满足κN0，且对任何λκ有2λκ，κ就是一个强不可达基数。强不可达基数一定是弱不可达的。在广义连续统假设成立时，每个弱不可达基数也是强不可达的。这时这两个概念是相同的。在ZFC系统中不能证明不可达基数的存在性。称这种基数为不可达的原因是它不可能从比它小的基数出发，使用通常的集合论运算得到。

正则基数

正则基数是一种特殊基数。如果α为极限序数，且cf(α)=α，则称α为正则的。正则的基数称为正则基数。不正则的无穷基数称为奇异基数。由于正则的序数一定是基数，故人们对正则的序数、正则序数、正则的基数和正则基数这几个概念不加区别地使用。通常也有人将ω称为正则基数，将Nα+1称为正则序数。正则性是基数的重要概念之一，它由德国数学家豪斯多夫(Hausdorff，F.)于1908年引入。关于正则基数的性质曾引申出许多重要的集合论命题，其中最重要的问题是：是否能在ZF系统中证明存在大于ω的正则基数?一方面，由选择公理知，N1，N2，…，Nα+1都是大于ω的正则基数。

大基数的研究由来已久。例如，早在1911年，就开始了对今天称为马赫罗(Mahlo，P.)基数的一类基数的研究；1930年后，就提出了不可达基数和可测基数的概念。但在20世纪60年代之前，这种研究是零星的、分散的。直到20世纪60年代，人们才将大基数公理作为集合论的附加公理来加以研究。近年来，含大基数的内模型成为集合论研究的热点。人们更习惯于用从全域V到某传递类M的非平凡的基本嵌入(elementaryembedding)j：V→M来描述大基数公理。设κ为j的临界点，即最小的满足j(α)=α的序数，记为κ=crit(j)。此时，V和M越相似，所引入的大基数公理越强。例如，如果M?M，则称κ为λ超紧基数；如果对任意为λ≥κ，κ为λ超紧基数，则称k为超紧基数；如果Vj(k)?M，则称k为超强基数；如果对于任意的f：κ→κ，存在j：V→M使得crit(j)=k且V?M，其中M是传递的，则称κ为谢拉赫基数；如果对于任意的f：κ→κ，存在δκ，使得f在δ中封闭且存在j：V→M满足crit(j)=δ且V(j(f)(κ)?M，其中M是传递的，则称κ为邬丁基数。如果Vλ?M，则称κ为λ强基数。λ超紧基数是以色列学者索洛韦(Solovay，R.M.)引入的。λ强基数和超强基数这两个概念是从米雪尔(Mitchell，W.)的工作中提取出的。谢拉赫基数是分别根据他们发现的大基数性质而命名的。可以证明：[2]

1.若κ是2超紧基数，则存在κ个小于k的超强基数。

2.若κ是超强基数，则κ是谢拉赫基数并且存在κ个小于κ的谢拉赫基数。

3.若κ是谢拉赫基数，则κ是邬丁基数并且存在κ个小于κ的邬丁基数。

4.若κ是邬丁基数，则κ是不可达基数并且存在κ个小于κ的基数δ满足对于任意的λk，δ是λ强基数。

作为公理集合论研究的三大主流之一，大基数公理的研究与可构造性及力迫法这两者的研究有很大的不同：如果说后两者对集合论中的相容性与独立性进行精细的探讨与刻画的话，那么前者则是充分使用各种数学工具，开拓越来越丰富的集合论研究对象。

公理集合论

用公理及逻辑的方法研究无限集与超穷数的数学理论，是数理逻辑的主要分支之一。

康托尔于19世纪70～80年代的一系列工作开创了对无穷集的研究。他同时还提出了著名的连续假设。1900年前后，人们在康托尔集论中发现了一系列悖论。消除悖论的途经之一是公理方法。策墨罗于1908年发表了集论的第1个公理系，后经佛兰克尔等人的扩充与完善，成为周知的ZF公理系。另一种公理系是由哥德尔与贝尔奈斯等人提出的，称为GB公理系，其中另引入了类的概念。选择公理(AC)早已被人隐蔽地应用了，但首先是由策墨罗明确提出;由于其不直观性，能否作为集论公理曾有争议。多年来，AC与CH是公理集论的中心问题。1938年哥德尔引入可构造集概念



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